Cours Peccot au Collège de France.

J'ai donné en janvier/février 2013 une série de quatre leçons au collège de France. Merci à ceux qui ont pris le temps de venir m'écouter !

Les notes de ce cours sont publiés aux éditions Spartacus. Commentaires et corrections bienvenus!

Titre : Approche duale des représentations du groupe symétrique.

Résumé :  La théorie des représentations du groupe symétrique est un domaine de recherche relativement ancien (initié par Schur et Frobenius autour de 1900). Une question centrale est de calculer les "caractères irréductibles". Bien que la question soit de nature algébrique, les réponses ont une saveur combinatoire, faisant intervenir notamment des tableaux de Young et des fonctions symétriques.

Plus récemment, S. Kerov et G. Olshanski ont proposé une nouvelle approche de cette théorie, que l'on pourrait qualifier de "duale". Il s'agit de considérer tous les groupes symétriques en même temps et de regarder les caractères comme une fonction sur les diagrammes de Young. Nous allons développer deux aspects de cette théorie :

• premièrement, cette approche fait apparaître une combinatoire nouvelle, à base de cartes, que l'on va présenter ;
• deuxièmement, elle permet de décrire asymptotiquement la forme limite d'un diagramme de Young sous la mesure de Plancherel, faisant ainsi un pont avec les probabilités.

Note de cours : les cours auront lieu au tableau, il n'y a donc pas de diaporama disponible. Par contre, vous pouvez trouver ici mes notes personnelles (voir ci-dessous) ainsi que les notes de cours, plus propres, prises par Mathilde Bouvel et Julien Courtiel lors de l'édition bordelaise.

Contenu séance par séance :

• Séance 1 : représentations des groupes finis, théorie des caractères. Construction des représentations irréductibles du groupe symétrique à l'aide du symétriseur de Young. [FH] Notes de la première séance
• Séance 2 : formule combinatoire pour les caractères renormalisés. Lien avec les cartes unicellulaires et les P-partitions. [FŚ] Notes de la deuxième séance
• Séance 3 : introduction de l'inclusion-exclusion cyclique. Développement des caractères normalisés sur les cumulants libres. [F,DFŚ] Notes de la troisième séance
• Séance 4 : application à l'étude de grands diagrammes de Young sous la mesure de Plancherel. [IO] Généralisation conjecturale liée aux polynômes de Jack [La]. Notes de la quatrième séance